Formal:
* Je vous prie de m'excuser. (I beg you to excuse me.)
* Veuillez m'excuser. (Please excuse me.)
* Je vous présente mes excuses. (I offer you my apologies.)
Informal:
* Excuse-moi. (Excuse me.)
* Je suis désolé(e). (I am sorry.)
* Mes excuses. (My apologies.)
More specific apologies:
* Je suis vraiment désolé(e) pour... (I am truly sorry for...)
* Je regrette beaucoup... (I deeply regret...)
Choose the phrase that best suits the context and your relationship with the person you are apologizing to.